Fórmula de Bhaskara Exercícios Resolvidos → O que é e como fazer ✏️

A Fórmula de Bhaskara é um método que permite resolver exercícios envolvendo encontrar a solução da Equação de Segundo Grau, podendo ser utilizada em equações do 2º Grau Completas e Incompletas, embora paras as incompletas não represente o método mais rápido e mais indicado para a resolução. Portanto vamos dar exercícios resolvidos apenas paras as completas.

Existem vários outros métodos através dos quais é possível chegar nas soluções de uma equação do segundo grau, mas esse é, sem dúvidas, o mais utilizado em todo o mundo. Aqui você vai ver quem criou esse método e qual é ele e como usar para encontrar a solução.

Um dos métodos, por exemplo, é o método de Newton que permite chegarmos a uma solução aproximando as raízes. Claro que esse é visto mais no ensino superior, em matérias como o cálculo numérico, mas é bom saber que existe outras formas apenas por curiosidade.formula de bhaskara exercicios resolvidos

O que é uma equação do 2º Grau?

É uma equação que apresenta uma de suas incógnitas elevadas ao quadrado, ou seja, possui como fórmula geral a abaixo:

ax² + bx + c = 0

Ela possui as características nas quais é possível aplicar a Fórmula de Bhaskara e achar rapidamente as raízes através dos coeficientes.

Deve-se prestar atenção pois a é sempre o coeficiente que acompanha , b é sempre o coeficiente que acompanha x e c sempre é o coeficiente independente, chamados, respectivamente, de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre.

a, b e c sempre são números reais e, além disso, a ≠ 0. Caso a = 0, a equação não será de segundo grau.

O que é a Fórmula de Bhaskara?

É uma fórmula geral na qual a mesma permite achar a solução de equações do segundo grau de maneira simples e intuitiva. Claro que o trabalho para chegar à ferramenta é um pouco grande para que não é matemático, mas é possível deduzir a mesma de maneira ligeiramente simples.

A mesma pega os coeficientes da equação do 2º grau e calcula, a partir deles, o valor de x que é a solução para a mesma.

A fórmula é dada por:qual e a fórmula de bhaskara

Como a mesma é um pouco grande, podemos chamar tudo o que está dentro da raiz de “Discriminante” e usar o símbolo de Delta(Δ) para representá-lo, então:Fórmula de Bhaskara com Delta

Com o valor do discriminante sendo representado pela seguinte equação:delta discriminante formula de bhaskara

É importante fazer isso pois calculamos o delta de forma separada para fazermos uma análise do mesmo. Como verá mais adiante ele nos dirá coisas importantes sobre as raízes a serem encontradas.

Obs.: É importante ressaltar que o símbolo ± não tem valor matemático, ele apenas é utilizado para simplificar a forma que escrevemos a fórmula e para representar que existem duas fórmulas que precisam ser resolvidas para que achemos as duas soluções da equação. Deve-se prestar atenção nisso na hora do cálculo, visto que as soluções (x’ e x”) são encontradas usando as fórmulas abaixo:Raiz x' da equação do segundo grau

raiz x'' da equacao do 2 grau

Sempre que houver solução real, uma equação do segundo grau possuirá duas soluções, o que acontecerá é que algumas vezes elas possuirão o mesmo valor.

Dedução da Fórmula de Bhaskara Passo a Passo

Esse tópico é para aqueles que possuem curiosidade sobre como é deduzida essa fórmula. A demonstração é considerada simples pelos matemáticos, embora para leigos é difícil fazer isso. Mas abaixo verá como foi gerada a mesma e perceberá que ela não saiu do nada. Veja(Obs.: Devemos ter em mente que a ≠ 0, somente assim a demonstração é válida.):Demonstração Fórmula de Bhaskara

Como temos o módulo, pela sua definição, fica assim:Dedução Fórmula de Bhaskara

Com isso,Fórmula de bhaskara final da dedução

Outra forma pela qual é possível fazer a dedução e chegar no mesmo resultado é a abaixo:Demonstração Fórmula Bhaskara

Como pode perceber, a dedução não é tão complicada. Porém é preciso ter bastante conhecimento em álgebra para chegar ao resultado corretamente e entender o que ele significa. Se você estava a procura dessa demonstração, espero que a mesma tenha lhe sido útil.

Como fazer para resolver uma Equação do 2º Grau

Bom, essa é a parte que mais interessa desse artigo que é: Como fazer para usar a Fórmula de Bhaskara para encontrar a solução de uma equação do segundo grau. A mesma pode ser utilizada com equações completas e incompletas, porém as incompletas apresentam métodos mais rápidos e simples de resolução, embora muitas vezes se exigirá que se resolva utilizando essa fórmula. Mas a aplicação em ambos os casos é igual. Veja abaixo o passo a passo:

1º) Identifique os coeficiente da equação do segundo grau

O primeiro passo para uma resolução correta é saber identificar os coeficientes da equação. Muitas pessoas já erram nesse primeiro passo e, consequentemente, erram as soluções. O primeiro passo é fazer as manipulações algébricas para encontrar uma equação com a seguinte fórmula geral:

ax² + bx + c = 0

Em que a, b e c são números reais e x é a incógnita ou variável. E a ≠ 0.

Exemplo: -x² + x -1 = – 2x² – x – 2

Aqui temos que fazer de início a manipulação algébrica para que fique todos os termos de um lado e o zero do outro. Basta somar 2x² + x + 2 de ambos os lados da equação, daí teremos:

-x² + x -1 + 2x² + x + 2 = – 2x² – x – 2 + 2x² + x + 2 ⇒ x² + 2x + 1 = 0

Obs.: Claro que nem todas serão fáceis assim, mas esse foi só um exemplo para ver que manipulações do tipo podem ser necessárias.

Agora que temos nossa equação do 2º grau organizada( x² + 2x + 1 = 0), basta identificarmos os coeficientes:

  • a = 1
  • b = 2
  • c = 1

2º) Calcule o valor do Discriminante ou Delta

Agora é a hora que devemos ter muito cuidado pois o valor que acharmos aqui é determinante para as soluções da equação. Sendo que:

  • Quando Δ < 0 ⇨ A equação não possui raízes reais.
  • Quando Δ > 0 ⇨ A equação possui duas raízes reais e diferentes entre si.
  • Quando Δ = 0 ⇨ A equação possui duas raízes reais e iguais entre si.

Então o valor que encontrarmos nos dirá se teremos raízes reais e se elas são iguais ou não.

Exemplo: Continuando o exemplo do tópico 1: x² + 2x + 1 = 0.

  • a = 1
  • b = 2
  • c = 1

A fórmula do discriminante é: Δ = b² – 4ac. Como já temos os coeficientes mais acima, basta substituirmos os mesmos na equação.

Δ = 2² – 4 . 1 . 1

Δ = 4 – 4

Δ = 0

Com esse valor de Delta(Δ = 0) temos duas soluções reais e iguais para a equação do segundo grau do exemplo.

3º) Ache as soluções da equação

Uma vez identificados os coeficientes e encontrado o valor de delta, basta substituir na fórmula abaixo para podermos encontrar as soluções: qual e a fórmula de bhaskara

Lembrando que deve-se fazer duas vezes a conta: uma com o mais e outra com o menos antes da raiz, para que possa encontrar as duas soluções.

Exemplo: Continuando o exemplo do tópico 1: x² + 2x + 1 = 0.

Temos que:

  • a = 1
  • b = 2
  • c = 1
  • Δ = 0

Basta substituir na equação agora, para encontrar os resultados:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-2 – √0) /2.1 = (-2-0)/2 = -2/2 = -1

x” = (- b + √Δ)/2a = (-2 + √0) /2.1 = (-2+0)/2 = -2/2 = -1

Como esperado, encontramos duas raízes reais e iguais para a equação(x’ = x” = -1). Isso ocorreu pois o valor encontrado quando calculamos o Discriminante foi Δ = 0.

Abaixo três exercícios resolvidos com diferentes valores de Delta para que possa ver melhor como funciona a questão do estudo do valor do Discriminante.

Fórmula de Bhaskara Exercícios Resolvidos

Vamos aqui dar três exercícios resolvidos da Fórmula de Bhaskara. Isso é o suficiente para que você possa entender como é possível usar a mesma para resolver uma equação do segundo grau.

Veja abaixo os três:

1 ) 2x² – x + 1 = 0

1º) Identificando os coeficientes da equação:

  • a = 2
  • b = – 1
  • c = 1

2º) Calculando o valor de Delta:

Δ = b² – 4ac

Então:

Δ = (-1)² – 4 . 2 . 1

Δ = 1 – 8

Δ = – 7

Repare que Δ < 0. Então, nesse caso, a equação do segundo grau não possui raízes reais. Aqui acaba a resolução.

2 ) x² + 4x + 4 = 0

1º) Identificando os coeficientes da equação:

  • a = 1
  • b = 4
  • c = 4

2º) Calculando o valor de Delta:

Δ = b² – 4ac

Então:

Δ = (4)² – 4 . 1 . 4

Δ = 16 – 16

Δ = 0

Repare que Δ = 0. Então, nesse caso, a equação do segundo possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso devemos proceder para o próximo passo.

3º) Encontrando o resultado:

Uma vez que temos os valores dos coeficientes e do Discriminante, basta substituir os valores na equação abaixo:

Fórmula de Bhaskara com Delta

Resolvendo:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-4 – √0) /2.1 = (-2-0)/2 = -4/2 = -2

x” = (- b + √Δ)/2a = (-4 + √0) /2.1 = (-2+0)/2 = -4/2 = -2

Então, como esperado, encontramos duas raízes reais e iguais. Sendo elas: x’ = x” = -2

3 ) x² + 3x + 2 = 0

1º) Identificando os coeficientes da equação:

  • a = 1
  • b = 3
  • c = 2

2º) Calculando o valor de Delta:

Δ = b² – 4ac

Então:

Δ = (3)² – 4 . 1 . 2

Δ = 9 – 8

Δ = 1

Repare que Δ = 1. Então, nesse caso, a equação do segundo possui duas raízes reais e diferentes entre si. Nesse caso devemos proceder para o próximo passo.

3º) Encontrando o resultado:

Uma vez que temos os valores dos coeficientes e do Discriminante, basta substituir os valores na equação abaixo:

Fórmula de Bhaskara com Delta

Resolvendo:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-3 – √1) /2.1 = (-3-1)/2 = -4/2 = -2

x” = (- b + √Δ)/2a = (-3 + √1) /2.1 = (-3+1)/2 = -2/2 = -1

Então, como esperado, encontramos duas raízes reais e diferentes. Sendo elas: x’ = -2 e x”= -1.

Curiosidade: Quem criou a Fórmula de Bhaskara?

Somente no Brasil que é utilizado o nome “Fórmula de Bhaskara“, em outros países ela é conhecida como fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau. Afinal esse nome não remete ao criador da fórmula, pois é o que acontece normalmente no mundo científico.

O criador da fórmula, tal como a conhecemos atualmente, foi o francês François Viète ( que viveu de 1540 a 1603). Foi ele quem procurou dar um tratamento mais algébrico e formal para achar uma fórmula geral de resolução. Por outro lado, existem sinais de resoluções desde 4000 anos antes, em textos escritos pelos babilônicos. Por isso no mundo afora não existe o nome de uma pessoa dado a essa fórmula, pois não temos como encontrar a verdadeira história de criação da mesma.

A adoção do nome no país:

Essa nomenclatura começou a ser adotada no Brasil por volta de 1960 e é uma homenagem a um dos maiores matemáticos indianos de todos os tempos: Bhaskara Akaria. O mesmo viveu na índia de 1114 a 1185 e foi grande contribuidor em várias resoluções matemáticas, possuindo seis livros comprovados:

  • Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos
  • Lilavati
  • Bijaganita, um tratado sobre Álgebra
  • Vasanabhasya de Mitaksara
  • Karanakutuhala ou Brahmatulya
  • Vivarana

Mas, apesar de ter sido um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Bhaskara Akaria está longe de ser o criador da fórmula que leva o seu nome. O mesmo admitiu usar o método criado pelo matemático também indiano Sridhara (que viveu de 870 a 930 d.C.) para resolver equações do 2º grau. Agora se Sridhara foi o primeiro a chegar e a usar a referida fórmula não sabemos. Mas o importante é que chegamos nos dias de hoje com ela de mãos beijadas para nós usarmos para resolvermos nossas equações.

👉🏼 Dicas de mestre

1) Sempre escreva as fórmulas gerais e leia em voz alta para guardar a mesma na sua cabeça. Isso fará com que não dê branco na hora da prova e na hora dos exercícios, aumentando as chances de usar a forma corretamente quando precisar.

2) Caso tenha tempo, substitua as raízes na equação para ver se as mesmas são realmente a solução. Como, por exemplo, no último exercício em que resolvemos a equação x² + 3x + 2 = 0, encontrando como solução x’ = -1 e x” = -2:

Testando x’ = -1: x² + 3x + 2 = 0 ⇨ (-1)² + 3(-1) + 2 = 0 ⇨ 1 – 3 + 2 = 0 ⇨ 3 – 3 = 0 ⇨ 0 = 0 👍🏼

Testando x” = -2: x² + 3x + 2 = 0 ⇨ (-2)² + 3(-2) + 2 = 0 ⇨ 4 – 6 + 2 = 0 ⇨ 6 – 6 = 0 ⇨ 0 = 0 👍🏼

Como foi verificado acima(0=0), as soluções encontradas realmente resolve a equação do 2º grau do exercício resolvido.

3) Faça muitos exercícios e procure sempre solucionar suas dúvidas diretamente com o professor. Isso lhe ajudará na hora que resolver as questões por conta própria na hora da prova.

4) Preste muita atenção no que você está fazendo porque um sinal errado ou uma operação algébrica mal feita poderá botar tudo a perder, e nada mais chato que erramos algo e termos que voltar atrás em tudo.

Como já deve ter percebido, aplicar a Fórmula de Bhaskara não é nenhum bicho de sete cabeças, mas deve-se prestar muita atenção e fazer o máximo de exercícios que puder. ✍🏼

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