Equação do 2º Grau Completa Exercícios → Como resolver ✏️

Uma Equação do 2º Grau Completa é aquela em que nenhum dos coeficientes é igual a 0. Ou seja, é aquela em que o a, b e c, da equação ax² + bx + c = 0, não são nulos. O método mais indicado para a resolução desse tipo de problema é utilizando a Fórmula de Bhaskara, embora seja possível obter soluções através de outros métodos como o método de Newton e o método de completar quadrados, porém a primeira opção é mais simples.

Os coeficientes de uma equação são a, b e c, sendo chamados, respectivamente, de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. Já o x é chamado de variável ou incógnita, que é aquele que não sabemos o valor.

Aprendemos e usamos esse tipo de equação em grande parte da vida acadêmica. Isso ocorre porque há uma variedade grande de aplicações da mesma, como no movimento uniformemente variado. Portanto é bom saber todas as suas características para que a aplique corretamente quando necessário.equação do 2º grau completa exercícios resolvidos com resposta

Qual é a Fórmula de Bhaskara

Como esse é o método mais utilizado para a resolução desse tipo de problema, utilizaremos dela para poder mostrar como é possível encontrar a solução de uma equação do segundo grau.

Ela utiliza apenas os coeficientes da mesma, ou seja, a, b e c. Portanto é necessário entender quais são eles e aprender a identificar corretamente os mesmos para poder não fazer confusão na hora da resolução.

A fórmula que utilizaremos é a seguinte:

qual e a fórmula de bhaskara

O que está “dentro” da raiz é chamado de Determinante ou Delta e calculado separadamente. O mesmo nos dá algumas informações interessantes sobre a equação da qual estamos buscando a solução. Sendo assim:

delta discriminante formula de bhaskara

E a fórmula final para encontrarmos a solução fica assim:

Fórmula de Bhaskara com Delta

O que o valor do Determinante ou Delta nos mostra?

O estudo do Determinante nos mostra se terá raízes reais e se, caso houver, as mesmas são iguais ou diferentes. Sendo que:

  • Δ < 0 ⇨ A equação não possui raízes reais.
  • Δ > 0 ⇨ A equação possui duas raízes reais e diferentes entre si.
  • Δ = 0 ⇨ A equação possui duas raízes reais e iguais entre si.

* Obs.: O “sinal ±” não apresenta nenhum valor algébrico no caso da equação, ele apenas indica que haverão dois cálculos a serem feitos: Um usando o “sinal de mais” e outro utilizando o “sinal de menos” e isso nos dará as duas raízes iguais ou as duas raízes diferentes.

Como resolver uma Equação do 2º Grau Completa

Já dissemos mais acima o que é uma Equação do Segundo Grau Completa, agora chegou a hora de mostrarmos como solucionar uma delas. Vamos dizer os três passos e resolver um exemplo para ficar de mais fácil compreensão Veja o passo a passo:

1º) Identifique todos os coeficientes

O primeiro passo para a resolução de uma equação do segundo grau é a identificação dos coeficientes da mesma. É preciso saber quais os valores de a, b e c.

Exemplo: 2x² – x – 1 = 0

Os coeficientes do exemplo são:

  • a = 2
  • b = -1
  • c = -1

Após identificar os mesmos, poderá passar para o próximo passo.

2º) Calcule o valor do Discriminante ou Delta

Como já dissemos, a fórmula do discriminante é Δ = b² – 4ac. Devemos substituir os valores encontrados no passo anterior e calcular o valor do Discriminante.

Continuação do Exemplo:

Δ = (-1)² – 4(2)(-1)

Δ = 1 + 8

Δ = 9

Como Δ > 0 teremos duas raízes reais diferentes como resolução do exemplo.

Calculado o valor de Delta e estudada as soluções, podemos passar ao próximo passo.

3º) Encontre as soluções da equação do 2º Grau

É aqui que encontraremos as respostas para o problema. Vamos aplicar a seguinte fórmula:

Fórmula de Bhaskara com Delta

Como já temos os coeficientes e o valor de Delta, basta substituí-los para achar as respostas.

Continuação do Exemplo:

Temos que:

  • a = 2
  • b = -1
  • c = -1
  • Δ = 9

Basta, agora, substituir na equação e encontrar os resultados. Vamos lá:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-(-1) – √9) /2.2 = (+1-3)/4 = -2/4= -1/2

x” = (- b + √Δ)/2a = (-(-1) + √9) /2.2 = (1+3)/4 = 4/4 = 1

Ou seja, como dito no passo 2, encontramos duas soluções reais e diferentes entre si para a equação do segundo grau do exemplo:

  • x’ = -1/2
  • x” = 1

Para resolver qualquer outra equação do 2º grau completa basta seguir os passos e terá sucesso.

Equação do 2º Grau Completa: Exercícios Resolvidos

A resolução de exercícios segue a mesma linha do exemplo dado no texto, sendo que, em alguns casos, é necessário explicar o que está fazendo como acima. Aqui nas respostas haverá ênfase na parte das contas, mas muitos professores pedem para explicar o que você está fazendo. Aí, no caso, basta olhar como está explicado no exemplo.

Aqui daremos a resolução de 3 exercícios, cada um deles com diferentes sinais no Determinante. Com eles já dá pra entender como fazer para resolver uma Equação do 2º Grau Completa, mas, qualquer dúvida, basta deixar um comentário. Elas estão resolvidas passo a passo para que possa entender o processo por completo, então não se preocupe caso não saiba nada sobre o assunto.

Vamos aos exercícios e às suas respostas:

i) x² – x + 1 = 0

1º) Identificando os coeficientes:

  • a = 1
  • b = -1
  • c = 1

2º) Calculando o valor do Discriminante:

Δ = (-1)² – 4 . 1 . 1

Δ = 1 – 4

Δ = -3

Como Δ < 0, essa equação não possui raízes reais. Aqui termina a resolução.

ii) x² – 2x + 1 = 0

1º) Identificando os coeficientes:

  • a = 1
  • b = -2
  • c = 1

2º) Calculando o valor do Discriminante:

Δ = (-2)² – 4 . 1 . 1

Δ = 4 – 4

Δ = 0

Como Δ = 0, a mesma possui duas raízes reais e iguais. Devemos proceder para o próximo passo para encontrar as soluções:

3º) Encontrando as soluções na fórmula final:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-(-2) – √0) /2.1 = (2-0)/2 = 2/2= 1

x” = (- b + √Δ)/2a = (-(-2) + √0) /2.1 = (2-0)/2 = 2/2 = 1

Como dito no segundo passo, a mesma possui duas raízes reais e iguais, sendo elas:

x’ = x” = 1

Aqui termina a resolução dessa equação do 2º grau completa.

iii) x² -3x -4 = 0

1º) Identificando os coeficientes:

  • a = 1
  • b = – 3
  • c = – 4

2º) Calculando o valor do Discriminante:

Δ = (-3)² – 4 . 1 .(-4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

Como Δ > 0, a mesma possui duas raízes reais e diferentes entre si. Devemos proceder para o próximo passo para encontrar as soluções:

3º) Encontrando as soluções na fórmula final:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-(-3) – √25) /2.1 = (3 – 5)/2 = – 2/2= – 1

x” = (- b + √Δ)/2a = (-(-3) + √25) /2.1 = (3+5)/2 = 8/2 =  4

Como dito no segundo passo, a mesma possui duas raízes reais e diferentes, sendo elas:

x’ = -1 e x” = 4

Aqui termina a resolução dessa equação do 2º grau completa.

👉🏼 Dicas de Mestre

1º) Preste muita atenção no que está fazendo. Matemática é, acima de tudo, atenção pois um erro pode botar tudo a perder na hora de uma resolução.

2º) Faça todos os exercícios que o seu professor pedir. Um deles poderá cair na prova ou, senão, poderá ser um semelhante.

3º) Diga sempre em voz alta as fórmulas genéricas para que possa memorizá-las e, na hora que precisar, tê-las em mente.

4º) Sempre teste as respostas encontradas para verificar se as mesmas realmente são a solução da equação do 2º grau dada na questão. Como no exercício resolvido iii) x² – 3x – 4 = 0, onde encontramos como raízes x’ = -1 e x” = 4, veja como fazer o teste abaixo:

Testando x’ = -1: x² – 3x – 4= 0 ⇨ (-1)² – 3(-1) – 4 = 0 ⇨ 1 + 3 – 4 = 0 ⇨ 4 – 4 = 0 ⇨ 0 = 0 👍🏼

Testando x” = 4x² – 3x – 4 = 0 ⇨ 4² – (3 . 4) – 4 = 0 ⇨ 16 – 12 – 4 = 0 ⇨ 16 – 16 = 0 ⇨ 0 = 0 👍🏼

Como as respostas encontradas fazem sentido(pois 0 = 0), as mesmas realmente são soluções da equação do 2º grau completa dada no exercício resolvido. Sempre teste, mesmo que mentalmente, para ver se as soluções encontradas realmente fazem sentido, caso não der certo terá de fazer tudo de novo pois as soluções não são válidas.

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