Equação do Segundo Grau Completa e Incompleta ✏️

É chamada Equação do Segundo GrauEquação do 2º Grau ou Equação Quadrática a Equação Polinomial de Grau Dois, possuindo a seguinte construção:

ax² + bx + c = 0

Com a ≠ 0. Caso a seja igual a zero a equação não é mais de segundo grau.

Nesse caso, x é a variável, também podendo ser chamada de incógnita; ab e c são constantes reais, sendo chamadas, respectivamente, de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre.

Existem várias formas de resolver esse tipo de equação, como:

Aqui abordaremos a resolução da forma mais simples possível, ou seja, usaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver exemplos e exercícios que precisarmos.

Equação do Segundo Grau Completa e Incompleta

Como resolver uma Equação do Segundo Grau Completa

Existem vários passos que devem ser seguidos para chegar a solução de um problema de maneira correta. Claro que eles não são tão difíceis, mas em tudo que se trata de matemática devemos prestar muita atenção para não cometermos erros e prejudicar o cálculo devido a isso.

Como vamos falar de uma Equação do Segundo Grau Completa, então está implícito que os coeficientes dela são diferentes de zero. Ou seja: a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.

Veja abaixo os três passos para fazer o cálculo:

1º Passo: Identifique os coeficientes ab e c

O primeiro passo para resolver esse tipo de equação matemática é saber identificar os coeficientes da equação.

Para isso lembre-se sempre da fórmula geral:

ax² + bx + c = 0

Ou seja, o a é sempre o coeficiente que acompanha o , o b é sempre o coeficiente que acompanha o x e o c é sempre o coeficiente que não acompanha nenhum x. Caso não esteja na forma acima deverá fazer as modificações para que a mesma apareça no formato certo. Escreva os termos separadamente para que não haja dúvidas e não confunda na hora de fazer as contas.

Por exemplo: Na equação x² + 2x + 1 = 0 os valores dos coeficientes são:

  • a = 1
  • b = 2
  • c = 1

Nem sempre os mesmos virão bonitinhos e na ordem certa como no exemplo, então deve-se prestar atenção. Sempre coloque na ordem da potência de x para que não faça confusão na hora da identificação.

2º Passo: Calcular o valor do Delta (Discriminante)

O valor de Delta é dado pela expressão:

Δ = b² – 4ac

Lê-se: “Delta é igual a b ao quadrado – 4 a c”, ou seja, o valor de delta é dado pelo quadrado de b subtraído de 4 vezes a vezes c.

Se usarmos a equação citada no exemplo, com: a = 1, b = 2 e c = 1, teremos:

Δ = b² – 4ac

Δ = 2² – 4.1.1

Δ = 4 – 4

Δ = 0

Ou seja, se pegarmos o exemplo citado nesse caso teremos o valor de delta sendo igual a zero.

3º Passo: Calcular os valores de x que resolvem a equação

Agora é a parte que devemos prestar bastante atenção, um erro aqui poderá levar tudo a perder. A equação que calcula o valor de é a Fórmula de Bhaskara. A mesma é dada pela seguinte equação:

Fórmula de Bhaskara para resolver equações do 2 grau

Em que o Δ é o valor que já calculamos para o exemplo desse texto e seu valor foi igual a 0. Lembrando o valor dos outros coeficientes: a = 1b = 2 e c = 1.

Agora basta substituir os valores na fórmula para encontrar as raízes. Sendo que, para o exemplo acima:

x’ = (- b – √Δ)/2a = (-2 – √0) /2.1 = (-2-0)/2 = -2/2 = -1

x” = (- b + √Δ)/2a = (-2 + √0) /2.1 = (-2+0)/2 = -2/2 = -1

Como pode-se ver nesse exemplo, x’ = x”, ou seja, a equação do segundo grau utilizada como exemplo possui duas soluções reais e iguais.

Dica: Preste atenção no valor de Δ na hora da resolução

O valor de Delta é determinante para saber quantas soluções reais possui a equação do segundo grau. Portanto deve-se sempre prestar atenção no mesmo. Existem 3 possibilidades:

Δ < 0 ⇨ A equação não possui raízes reais.

Δ > 0 ⇨ A equação possui duas raízes reais e diferentes entre si.

Δ = 0 ⇨ A equação possui duas raízes reais e iguais entre si.

Como no caso do exemplo tivemos Δ = 0, as raízes reais obtidas foram iguais entre si.

Como resolver uma Equação do Segundo Grau Incompleta

Se para resolver uma Equação do Segundo Grau Completa a Fórmula de Bhaskara é de vital importância, isso já não ocorre mais quando a mesma possui b = 0c = 0 ou b = c =0. Obs.: o coeficiente a da equação ax² + bx + c = 0 nunca será igual a zero porque aí deixaria de ser uma equação do segundo grau e passaria a ser uma equação de primeiro grau.

Claro que é possível ainda utilizar-se da Fórmula de Bhaskara para as incompletas, e, em algumas vezes, é solicitado pelos professores a fazer utilizando a mesma, mas a praticidade do dia a dia não nos permite perder tempo e existem formas mais simples de fazer esses cálculos.

Veja abaixo como fazer o cálculo de maneira mais rápida nos 3 casos:

1º Caso: b = c =0

Esse é o caso mais simples e pode ser resolvido de maneira bem rápida.

Tomemos como exemplo: 2x² = 0.

Para resolver o exemplo dado acima, quando b = c = 0, devemos seguir esse passo a passo:

Divide-se ambos os lados por 2:

(2x²)/2 = 0/2 ⇨ x² = 0

Tira-se a raiz quadrada de ambos os lados:

√x² = √0 ⇨ |x| = 0 ⇨ x = ± 0

Disso temos que:

x’ = 0 e x” = 0. Caso tente achar a solução pra essa equação usando a Fórmula de Bhaskara verá que o resultado será o mesmo e, ainda, que delta igual a zero, significando que possui duas raízes reais e iguais.

2º Caso: b = 0 e c ≠ 0

Nesse caso é análogo a opção anterior, porém em vez de ser a raiz de zero será de algum outro número. É importante ressaltar que, caso b = 0, só admitirá raízes reais quando c < 0; porque, caso contrário, Δ será menor que zero e, quando isso ocorre, não admite soluções pertencentes ao conjunto dos números reais.

Tomemos como exemplo: x² – 25= 0.

Para resolver o exemplo dado acima devemos seguir esse passo a passo:

Soma-se 25 unidades dos dois lados da equação:

x² – 25 + 25 = 0 + 25 ⇨  x² = 25

Tira-se a raiz quadrada de ambos os lados:

√x² = √25 ⇨ |x| = 5 ⇨ x = ± 5

Disso temos que:

x’ = 5 e x” = -5. Caso resolva a mesma usando a Fórmula de Bhaskara obterá o mesmo resultado.

3º Caso: b ≠ 0 e c 0

Nesse caso uma das raízes sempre será igual a zero. E em todos os casos admitirá duas soluções diferentes pertencentes ao conjunto dos números reais.

Tomemos como exemplo: 2x² – 4x = 0.

Devemos fatorar a equação em função de x:

2x² – 4x = 0 ⇨ x(2x-4) = 0

Essa igualdade só é verdade quando:

x = 0 ou 2x – 4 = 0

Já encontramos x’ = 0. Para encontrar a segunda raiz (x”) basta resolver: 2x – 4 = 0;

2x – 4 = 0 ⇨ 2x – 4 + 4 = 0 + 4 ⇨ 2x = 4

(2x)/2 = 4/2 ⇨ x = 2

Então, temos que, x’ = 0 e x” = 2. Se quiser poderá resolver também utilizando a Fórmula de Bhaskara, mas gastaria um tempo desnecessário sendo que assim é bem mais rápido.

👉🏼 Dicas de Mestre sobre Equação do Segundo Grau

1º) Sempre preste o máximo de atenção possível no que você está fazendo, um sinal ou um número errado pode fazer você perder um tempo enorme refazendo os cálculos. Matemática é um pouco complicada, não a faça ficar ainda mais.

2º) Sempre substitua as raízes na equação para ver se as mesmas são as soluções. Como no exemplo anterior: 2x² – 4x = 0 encontramos como raízes 0 e 2. Para saber se as mesmas são soluções basta substituir na equação.

Testando o 0: 2x² – 4x = 0 ⇨ 2.(0²) – 4.0 = 0 ⇨ 2.0 – 4.0 = 0 ⇨ 0 – 0 = 0 ⇨ 0 = 0 👍🏼

Testando o 2: 2x² – 4x = 0 ⇨ 2.(2²) – 4.2 = 0 ⇨ 2.4 – 4.2 = 0 ⇨ 8 – 8 = 0 ⇨ 0 = 0 👍🏼

Conforme visto acima, realmente as raízes encontradas no último exemplo estão corretas.

3º) Para ajudar a memorizar as fórmulas, sempre que utilizar as mesmas em exercícios escreva-as em seu caderno e leia-as em voz alta, sempre conferindo para ver se estão certas, isso poderá lhe ajudar muito a não esquecer mais das mesmas e a tirar maiores notas nas suas avaliações e provas. ✍🏼

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